Войти

az

ru

makvun group

Образование - будущее нации.

Г.Алиев

Лучшие Ученики

Детское Творчество

Онлайн Олимпиады

Алгебра

Математическая модель

 

Видео урок

Текстовой урок

Упражнения

Тесты

 Введение

 

Все­гда, когда мы пе­ре­да­ем ка­кую-то ин­фор­ма­цию, мы ее упро­ща­ем. Пе­ре­да­ем не всё, а толь­ко самое важ­ное. Когда мы го­во­рим «я сижу за сто­лом», то не опи­сы­ва­ем, из чего сде­лан стол, цвет и вы­со­ту стола. Мы упро­ща­ем си­ту­а­цию. Мы можем на­ри­со­вать что-ни­будь, на­при­мер сде­лать чер­теж де­та­ли. Это тоже упро­ще­ние.

 

Когда мы хотим ре­шить ка­кую-то за­да­чу, найти ка­кую-ни­будь ве­ли­чи­ну, мы тоже упро­ща­ем. За­ме­ня­ем ре­аль­ные объ­ек­ты чис­ла­ми (гео­мет­ри­че­ские фи­гу­ры). В таком слу­чае го­во­рят, что мы стро­им ма­те­ма­ти­че­скую мо­дель.

 

 Пример математической модели

 

В одной вазе  яб­ло­ка, во вто­рой . (См. Рис. 1.) Сколь­ко всего яблок в двух вазах?

 

 

Рис. 1. Вазы с яб­ло­ка­ми

 

Если вы от­ве­ти­ли , зна­чит, вы уже успе­ли по­стро­ить ма­те­ма­ти­че­скую мо­дель и с её по­мо­щью ре­шить за­да­чу.

 

Без мо­де­ли эта за­да­ча ре­ша­ет­ся так. В одной вазе  яб­ло­ка, во вто­рой . Скла­ды­ва­ем их вме­сте и пе­ре­счи­ты­ва­ем. (См. Рис. 2.)

 

 

Рис. 2. Все яб­ло­ки

 

Но мы по­сту­па­ем не так. Все яб­ло­ки раз­ные (раз­но­го цвета, сорта), но нас ин­те­ре­су­ет толь­ко их ко­ли­че­ство. По­это­му яб­ло­ки в обеих вазах мы за­ме­ня­ем чис­ла­ми  и . Те­перь нам не надо скла­ды­вать яб­ло­ки вме­сте, а оста­ет­ся сло­жить толь­ко числа.

 

Это и есть ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель, ма­те­ма­ти­че­ское упро­ще­ние дей­стви­тель­но­сти.

 

Нам оста­лось сло­жить числа  и . По­лу­чить .

 

Дей­ствия мы про­из­ве­ли с мо­де­лью, но вы­во­ды сде­ла­ли от­но­си­тель­но ре­аль­ной си­ту­а­ции. Всего яблок .

 

Кроме того, что мо­дель упро­сти­ла ре­ше­ние, мы с по­мо­щью нее ре­ши­ли сразу много ре­аль­ных задач. На­при­мер, в одном дворе  ма­ши­ны, во вто­ром . (См. Рис. 3.) Сколь­ко всего машин? Та же самая мо­дель дает ответ: .

 

 

 

Рис. 3. Ма­ши­ны во дво­рах

 

В одной ком­на­те  че­ло­ве­ка, в дру­гой . (См. Рис. 4.) Всего  че­ло­век.

 

 

 

Рис. 4. Люди в ком­на­тах

 

 Как решать задачи

 

Чтобы ре­шить ка­кую-то за­да­чу, обыч­но по­сту­па­ют так:

 

Пе­ре­хо­дят от ре­аль­ной си­ту­а­ции к мо­де­ли. Ре­ша­ют мо­дель по неко­то­ро­му ал­го­рит­му. Воз­вра­ща­ют­ся от мо­де­ли к ре­аль­ной си­ту­а­ции.

 

 Построение моделей

 

В нашей жизни мы по­сто­ян­но стал­ки­ва­ем­ся с мо­де­ля­ми:

 

План зри­тель­но­го зала (см. рис. 5) – это мо­дель на­сто­я­ще­го зала. Она упро­ща­ет за­да­чу – найти наше место.

 

 

Рис. 5. План зри­тель­но­го зала

 

Ту же самую функ­цию вы­пол­ня­ют карта стра­ны или мира. (См. Рис. 6.)

 

 

Рис. 6. Карта мира

 

Когда мы идем по улице и смот­рим на но­ме­ра домов, то по­ни­ма­ем, что -й дом будет после -го и -го. (См. Рис. 7.)

 

Рис. 7. По­ря­док рас­по­ло­же­ния домов

 

Мы это по­ни­ма­ем, по­то­му что в го­ло­ве у нас есть мо­дель – на­ту­раль­ные числа и по­ря­док, в ко­то­ром они рас­по­ло­же­ны.

 

 Применение математической модели в жизни

 

Рас­смот­рим при­мер, как удач­ная ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель по­мог­ла ре­шить за­да­чу, ко­то­рую люди не могли ре­шить очень долго.

 

В го­ро­де Кё­нигсбер­ге (сей­час Ка­ли­нин­град) было  мо­стов. (См. Рис. 8.)

 

 

Рис. 8. Мосты в Кё­нигсбер­ге

 

Жи­те­ли пы­та­лись по­нять, можно ли гу­лять так, чтобы прой­ти по всем мо­стам, но ни по ка­ко­му не про­хо­дить два раза.

 

Много лет они не могли ре­шить эту за­да­чу.

 

Когда над ней стал ду­мать Лео­нард Эйлер, то понял, что здесь много лиш­ней ин­фор­ма­ции, ко­то­рая от­вле­ка­ет. Он решил упро­стить за­да­чу, сде­лать ма­те­ма­ти­че­скую мо­дель.

 

Участ­ки суши он стал сжи­мать до тех пор, пока они не пре­вра­ти­лись в точки. А мосты пре­вра­тил в линии, ко­то­рые со­еди­ня­ют эти точки. (См. Рис. 9.)

 

 

Рис. 9. Ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель Эй­ле­ра

 

За­да­ча те­перь вы­гля­дит так – можно ли на­ри­со­вать такую фи­гу­ру (она на­зы­ва­ет­ся граф), не от­ры­вая ка­ран­да­ша от бу­ма­ги и не про­во­дя ни по какой линии два­жды. (См. Рис. 10.)

 

 

Рис. 10. Граф

 

Ответ ока­зал­ся от­ри­ца­тель­ным. Нель­зя. Зна­чит, и по всем мо­стам нель­зя прой­ти ровно один раз.

 

Кому ин­те­рес­на эта за­да­ча – на­бе­ри­те в по­ис­ко­ви­ке «мосты Эй­ле­ра» и най­де­те по­дроб­ное опи­са­ние. Там же будет рас­сказ о тео­рии гра­фов.

 

 Уравнение в математической модели

 

Очень часто ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель со­дер­жит урав­не­ние. Урав­не­ние – это ана­лог ре­аль­ной си­ту­а­ции, когда объ­ект неиз­ве­стен, но кое-что мы про него знаем.

 

На­при­мер, сыщик Шер­лок Холмс знает, что у пре­ступ­ни­ка рыжая бо­ро­да, что он хро­ма­ет на пра­вую ногу и ему боль­ше  лет. Вот это уже и есть урав­не­ние, ко­то­рое Холмс пы­та­ет­ся ре­шить.

 

Ма­те­ма­ти­че­ское урав­не­ние воз­ни­ка­ет, когда нам неиз­вест­на некая ве­ли­чи­на, но мы знаем про нее ка­кие-то факты.

 

За­да­ча. В двух вазах  яблок, при­чем в одной на  боль­ше, чем в дру­гой. Сколь­ко яблок в каж­дой вазе?

 

Ре­ше­ние. Для ре­ше­ния этой за­да­чи мы со­став­ля­ем ма­те­ма­ти­че­скую мо­дель.

 

От яблок мы пе­ре­хо­дим к чис­лам. Яб­ло­ки в каж­дой вазе мы за­ме­ня­ем чис­лом (ко­ли­че­ством).

 

Так как нам неиз­вест­но ко­ли­че­ство яблок в одной вазе, то мы вво­дим пе­ре­мен­ную .

 

В одной вазе  яблок, во вто­рой на  боль­ше, т. е. . Тогда всего яблок:

 

 

 

Вот мы и по­стро­и­ли ма­те­ма­ти­че­скую мо­дель. Мы не ду­ма­ем боль­ше о яб­ло­ках, а толь­ко о том, как ре­шить это урав­не­ние.

 

 

 

 

 

Ко­рень урав­не­ния , тогда.

 

Мы ре­ши­ли мо­дель.

 

Те­перь воз­вра­ща­ем­ся к ре­аль­ной си­ту­а­ции и по­лу­ча­ем ответ:  – это ко­ли­че­ство яблок в пер­вой вазе и  – во вто­рой.

 

 Задача

 

Кир­пич весит ки­ло­грамм и еще пол­кир­пи­ча. Сколь­ко весит кир­пич?

 

Эта за­да­ча на­це­ле­на на то, чтобы вы быст­ро дали непра­виль­ный ответ. Ко­неч­но же, ответ «пол­то­ра ки­ло­грам­ма» невер­ный. А потом, когда рас­сказ­чик вам даст пра­виль­ный ответ, вы долж­ны вос­хи­тить­ся этим фо­ку­сом. На самом деле вос­хи­щать­ся здесь нечем. Ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель дает нам очень быст­рое ре­ше­ние.

 

Ре­ше­ние.

 

1. С ис­поль­зо­ва­ни­ем ма­те­ма­ти­че­ской мо­де­ли.

 

Нам неиз­вест­на масса кир­пи­ча. Обо­зна­чим ее . Масса по­ло­ви­ны кир­пи­ча – это .

 

Тогда усло­вие за­да­чи мы пе­ре­пи­сы­ва­ем в виде: .

 

Это и есть наша ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель.

 

Так как она со­хра­ня­ет толь­ко важ­ное для за­да­чи, то здесь лиш­ние слова нас не вво­дят в за­блуж­де­ние и мы легко ре­ша­ем эту смо­де­ли­ро­ван­ную за­да­чу (урав­не­ние).

 

 

 

 

 

 

Итак,  – это ре­ше­ние нашей мо­де­ли, урав­не­ния. Ре­ше­ние за­да­чи: масса кир­пи­ча –  кг.

 

2. Можно ре­шить эту за­да­чу и без ма­те­ма­ти­че­ско­го мо­де­ли­ро­ва­ния.

 

Кир­пич весит ки­ло­грамм и еще пол­кир­пи­ча. Кла­дем это все на весы. (См. Рис. 11.)

 

 

Кир­пич мы можем рас­ко­лоть на две по­ло­ви­ны. (См. Рис. 12.)

 

 

 

Рис. 12. Рас­ко­ло­ли целый кир­пич

 

Мы можем с обеих сто­рон убрать пол­кир­пи­ча. (См. Рис. 13.)

 

 

Рис. 13. Убра­ли с чаш по пол­кир­пи­ча

 

То есть мы уже по­ня­ли, что пол­кир­пи­ча весит ки­ло­грамм. Зна­чит весь кир­пич –  кг. Но здесь на по­след­нем шаге мы снова при­ме­ни­ли ма­те­ма­ти­че­скую мо­дель, а со­би­ра­лись без нее.

 

До­ве­дем дело до конца по-чест­но­му. Раз пол­кир­пи­ча весит столь­ко же, сколь­ко гиря, то до­ба­вим слева пол­кир­пи­ча, а спра­ва гирю. (См. Рис. 14.)

 

 

Рис. 14. До­бав­ля­ем слева пол­кир­пи­ча, а спра­ва гирю

 

Скле­им снова кир­пич. (См. Рис. 15.)

 

 

Рис. 15. Скле­и­ли кир­пич

 

Таким об­ра­зом, масса кир­пи­ча –  кг.

 

 Заключение

 

На этом уроке были разо­бра­ны по­ня­тие ма­те­ма­ти­че­ской мо­де­ли и спо­со­бы ее при­ме­не­ния. Итак, ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель – это спо­соб опи­са­ния ре­аль­ной жиз­нен­ной си­ту­а­ции (за­да­чи) с по­мо­щью ма­те­ма­ти­че­ско­го языка.

 

 

 

Спи­сок ли­те­ра­ту­ры

 

1. М.И. Баш­ма­ков. Ал­геб­ра. Ра­бо­чая тет­радь для 7 клас­са. – М.: БИНОМ. Ла­бо­ра­то­рия зна­ний, 2014 – 224 с.

 

2. Гельф­ман Э.Г., Де­ми­до­ва Л.Н., Терре А.И. Ал­геб­ра. Прак­ти­кум для 7 клас­са. – М.: БИНОМ. Ла­бо­ра­то­рия зна­ний, 2014 – 184 с.

 

3. Э.Г. Гельф­ман и др. Ал­геб­ра. Учеб­ник для 7 клас­са. – М.: БИНОМ. Ла­бо­ра­то­рия зна­ний, 2013 – 264 с.

 

 

 

До­пол­ни­тель­ные ре­ко­мен­до­ван­ные ссыл­ки на ре­сур­сы сети Ин­тер­нет

 

1. Ин­тер­нет-сайт «ЯК­ласс»(Ис­точ­ник)

 

2. Ин­тер­нет-сайт «Школь­ный по­мощ­ник» (Ис­точ­ник)

 

3. Ин­тер­нет-сайт school.​xvatit.​com (Ис­точ­ник)

 

 

 

До­маш­нее за­да­ние

 

1. Со­ставь ма­те­ма­ти­че­скую мо­дель дан­ной си­ту­а­ции: «Сто­и­мость ста­ка­на ман­да­ри­но­во­го сока –  руб., а ста­ка­на ви­но­град­но­го сока –  руб. Из­вест­но, что  ста­ка­на ви­но­град­но­го сока стоят столь­ко же, сколь­ко  ста­ка­на ман­да­ри­но­во­го сока».

 

2. В ске­ле­те но­во­рож­дён­но­го ко­стей на  боль­ше, чем в ске­ле­те взрос­ло­го че­ло­ве­ка. Вме­сте у них  ко­стей. Сколь­ко ко­стей у ро­ди­те­лей мла­ден­ца вме­сте, если у всех взрос­лых людей число ко­стей в ске­ле­те оди­на­ко­во?

 

3. У са­ран­чи мышц в  раза боль­ше, чем у че­ло­ве­ка. На сколь­ко у че­ло­ве­ка мышц мень­ше, чем у са­ран­чи, если вме­сте у них  мышц?

 

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

 

Центр образования

Отзывы

Сотрудничество

О проекте

Абонемент

Отзывы пользователей

Поддержать проект

О проекте

СМИ о нас

Участие в проекте

Наши учителя

Часто задаваемые вопросы

Методический кабинет

Контактная информация

Благодарности

Партнеры